欧拉是如何做到的？(六)-Gamma函数

看不到公式的同学请看 http://docs.google.com/View?id=d7dc52n_380dtqbdtc7

原文链接 http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2047%20Gamma%20function.pdf

Euler给我们引入了两个数学概念“Gamma”，一个是Gamma函数，一个是Gamma常数。Gamma函数将阶乘数序列一般化，这是我们这个月讨论的主题。而Gamma常数我们用符号表示，它的值大约为0.577。

当Euler1728年到圣彼得堡的时候，Daniel Bernoulli（丹尼尔 伯努利）和Christian Goldbach（歌德巴赫）正在对“序列插值”进行研究。他们的问题就是找出一个能“自然表达”数字序列的公式。例如，表示着平方数的序列，;表示着三角形数的序列，这两个序列对n取分数的时候都有相对应的定义，因此说它们能够对这些序列进行插值。

在早期的数学家中，包括Thomas Harriot和Issac Newton,已经创建了扩展的有限差分的计算方法（extensive calculus of finite differences），用来帮助寻找满足不同序列的公式，而他们的工作也推进了微积分的创建。事实上，理解对数发现的的一个方法是从对等比数列的插值入手。

Bernoulli和Goldbach在对两个特殊的数列进行插值的时候被难住了。第一个数列是我们现在称作阶乘数的数列，。他们称这个数列为“超几何级数”。第二个数列是调和级数的部分和数列，.

在简单了解了这两个问题后，Euler很快的就将两个问题都解决了（太令人发指了）。本次专栏，我们将注重介绍Euler是如何解决第一个问题的，他将向我们展示如何求,好像是对2！＝2和3！＝6中插值一样。

Euler在1729年十月13号向歌德巴赫寄去的一封信中提到了他的解法。他的信开头写到，“尊敬的先生：我一直在考虑那些能够被插值的序列的内在规律......尊敬的Bernoulli先生建议我写一封信给你。”接下来，Euler叙述了“序列”1，2，6，24，120的一般项。如下

（1）

Euler不对（1）进行简化，写成（2）的形式是有自己的原因的

（2）

这个原因涉及到无穷项乘积的绝对收敛和“高斯判定”（Gauss's criterion）。（1）那样的形式是收敛的，要是想让（2）也收敛的话，我们需要将（2）写成如下的形式

（3）

我们在这里不会陷于公式形式的细节里面，你要是感兴趣的话，可以找相关的资料来看。Euler在他做出他的定义的时候清楚的知道有个叫做“高斯判定”（Gauss’s criterion）的东西，但是他并没有使用这个判定。

Euler在1729年十月的那封信里面的讲解十分的简洁，但是他在另外的一份文章中给出了详细的叙述。在他的这份文章中，他告诉我们－没有做任何的计算－如果n为0或1的时候，乘积为1.但n为2或3的时候，他给出下面的式子：

 这个式子等于2

 这个式子等于6.

Euler给出了一个更为复杂的例子，Euler取m＝1/2,得到了一个无限乘积的式子：

简化后，就等于：

（4）

这式子看起来没有什么希望能求出来了，但是对于当时22岁的Euler，他已经阅读了大量的数学著作，他发现在1665年，John Wallis已经发现了：

从这个式子，Euler发现（4）的值为.Philip Davis发现Eluer已经意识到了与面积和积分之间的联系。当他看到自己的式子与有联系的时候，他试着将这个无限乘积的式子改写称为一个积分式子。在经过大量的工作以后，他发现他的无限乘积式子等价与：

.这个式子在n取分数或是负数的时候依然成立。

在这篇文章的最后，Euler给出了一个“应用”的建议，虽然他承认这个例子不是那么的有用。他写到：“为了让这次讨论更为圆满，我想叙述一个可能比较稀奇但不是那么有用的东西。我们都知道表示对x取n次的微分，如果假设p为任意以x为变量的函数，dx被视为一个常量，那么...和的比值可以用代数学的方法表示出来。如果n为分数，这个比值应该是多少”

Euler认为我们可以使用他的新函数求出被我们称为的“分数次导数”，并且他给出了一些例子。这里，我们会使用一些现代数学符号，和标记为被我们称为Gamma函数的函数。我们注意到，如果x为一个非负整数，则.让我们先看看对于的k-th次导数的一些基本性质，从中找出一些规律：

一次求导：

两次求导：

三次求导：

....

k次求导：

在这里我们要注意到k应该小于等于n，使得n-k能够大于等于0，并且(n-k)!能有意义。如果k不是一个整数，这些式子就没有意义了。

Gamma函数的意义就在于，当k为分数的时候，依然可以求得k次导数：

为x^n的k次导数。

或是像Euler一样写成：

在这里e只是一个指数的变量，与现代数学中的e常量没有联系。

基于这样的一个方法，Euler取n=1,k=1/2，求x的1/2次导数。得到

Euler并没有就此方向做更多的研究，但是他至少给了我们一个简便的方法去做相关的工作。如果我们想求一些更为复杂的函数的分数次导数的时候，我们可以先将函数用泰勒级数展开，然后对其中的每一项使用Euler的公式。如果你手中有Maple或是Mathmatica软件的话，你可以在上面做一些类似的实验。我们可以以

做为例子，取x从0到6，k从0到5,画一个k不同时候的导函数的曲线。我们知道f有5个根，它的一次导函数有4个，二次导函数有3个。随着k增加，我们可以发现，在5次导之后，所有的根都消失。

三角函数，像f(x)=sin x也十分的有趣。

那些熟悉傅立叶级数和拉普拉斯变换的读者应该知道它们也能用于定义分数导数。