Yongwei Xing's base with ET: 欧拉是如何做到的？(三)-欧拉的成就排行榜

公式看不见的，请看http://docs.google.com/View?id=d7dc52n_3537ngxtngs

原文链接 http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2040%20Greatest%20Hits.pdf

公众乐衷于各种各样的榜单，从十大金曲到年度十大娱乐事件，从十大雷人语句到十大官腔，应有尽有。但是在数学的世界里，神奇的事情发生的概率远远低于地球上发生的概率，所有我们少了很多娱乐的机会了。

当还是有一些数学上的排行榜的。1998年David Wells在Mathematical Intelligencer上做了一个调查，结果 $e^{\pi i} +1=0$ 力压群雄，被评为数学史上最美的公式。在2004年，Physics World将其列在最伟大的公式中的第二，仅次于麦克斯韦方程组。1＋1＝2也因为的简单与优美，而被Physics World列在了排行榜的第八位。

最近，我们恰好有个机会，就有关Euler做了一次调查。在2007年1月的新奥尔良的联合数学会议上，Rob Bradley和我组织了一次讨论会。在这次讨论会上，我们邀请参与者从事先列出的Euler的30项研究成果中选出他们认为是Euler最为重要的研究成果。当然，他们也可以自己写出不在名单上的研究成果，但是没有人这样做。我们让参与者选出他们认为最为重要的十项，并请他们将前三名给列出来。

调查结束之后，我们对投票进行统计，对于前三名，每三票算做一票，而对于前十项，则为正常机票。总共有35人进行了投票，这些结果将列在下面（并且附上票数）。尽管这样的调查手段存在着缺陷，但是这些参与者都是数学界赫赫有名的人物，并且对Euler有着极大的兴趣，所以再有其他人做类似这样调查之前，我们可以声称：

官方Euler十大成就排行榜

（26）贝塞尔问题： $\xi (2)=\sum_{k=1}^{\infty }{\frac{1}{k^{2} } } =\frac{\pi ^{2} }{6}$
(25)多面体欧拉公式：V-E+F=2
（23） $e^{\pi i}=-1$
（16）七桥问题与骑士环游问题
（14）欧拉乘积公式 $\prod_{p prime}^{}\frac{1}{1-\frac{1}{p^{n} } }=\sum_{k=1}^{\infty }{\frac{1}{k^{n} } }$
(12)欧拉－拉格朗日必要条件：如果一个函数y使得 $J=\int_{a}^{b} f(x,y,y^{'} )dx$ 为最小或最大值，那么 $\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial f}{\partial y}) =0$
(11)素数分布密度： $\sum_{p prime}^{}{\frac{1}{p} }$ 发散
（10）生成函数与整数分划
（9）欧拉－费尔马定理： $a^{\varphi (n)}\equiv 1(mod n)$
(9) Gamma函数

我自己心中的榜单有七项与这个榜单是一样的，其中前五项有三项是一样的。在五项中，我没有选择七桥问题和 $e^{\pi i} +1=0$ ，而是选择了欧拉－费尔马定理与欧拉－拉格朗日必要条件。

在我心目中的前十项里并没有包括七桥定理，素数密度分布问题和Gamma函数。而是包括了流体力学微分方程，刚体动力学微分方程和欧拉线。

参与者趋向于选择那些在自己研究领域中最为重要的定理。数论学家们将票投给了费尔马大定理（n=3,4），Robin Wilson，一本图论历史书的作者，将票投给了七桥问题。

很显然，没有微分几何学家参与这次投票活动，因为没有一个人投曲面主曲率的正交性。有一些视乎是19世纪的几何学家，但是他们的投票分在了九点圆定理（Nine-point circle theorem）和欧拉线（Euler Line），这二者分别排名15与23.但是数学家们还是有一些基本共识了，犹如心灵相通一般，对于前三个定理他们的意见相当的一致，以至于遥遥领先其他的七项。在这三个不同的调查中，都将 $e^{\pi i}=-1$ 选进了前三名，尽管一些对这个方程的写法有着不同的意见，一些更倾向于 $e^{\pi i} +1=0$

除了 $e^{\pi i} +1=0$ ，我们的列表与Intelligencer和Physics World的列表相当的一致。下面是Intelligence的列表中Euler以及与Euler相关的定理

$e^{\pi i}=-1$
V-E+F=2
素数的无穷性。（ $\sum_{p prime}^{}{\frac{1}{p} }$ 发散）
5. $\xi (2)=\sum_{k=1}^{\infty }{\frac{1}{k^{2} } } =\frac{\pi ^{2} }{6}$

10.如果p是一个形如4n+1的素数，那么p能写成两个平方数之和，且只有唯一一种的表达方式。

Physics World列出了另外一个与欧拉相关的定理，在这个列表的第九位，他们列出了最小作用原理， $\delta S=0$ 。这个物理和形而上学的原理以一种方式.因为这个原理与欧拉－拉格朗日必要条件有联系，所以我们写出这个方程，当 $\delta J=0$ 时，J取最大值或最小值。

（此段略去，是原作者对本专栏的一些介绍。）

现在让我们看看，我们这个专栏是怎么样描述这十项成果的。

1.贝塞尔问题

因为William Dunham对于Euler那个著名的无限乘积的解法已经有了非常漂亮的论述，我们不打算就此问题再次论述一番。在1741年，Euler对于这个问题又给出了一个完全不同的解法，而这在2004年三月份的专栏已经有了论述－“贝塞尔问题与积分”。并且在2003年的的十二月份，我们在“贝塞尔问题的估算”中，对Euler的数值解法进行了描述，求出了精确到六位的平方数倒数之和。

2.V-E+F＝2

我们在2004年六月，七月连续两期的“V-E+F=2”中，对这个定理进行了详细的分析，并指出了Euler证明上的漏洞。

3. $e^{\pi i}=-1$

对于第三个选项，我有些不同的意见。我承认这个公式十分的重要与优美，但我不认为我们应该将所有功劳算在Euler身上。

首先，我从没有见过Euler在任何的文章中叙述过这个公式。但是在1792年10月，在歌德巴赫的第一封信中，22岁的Euler写到：