Yongwei Xing's base with ET: 欧拉是如何做到的？(四)－e,Pi和i:欧拉恒等式命名的由来

公式看不到的请看http://docs.google.com/View?id=d7dc52n_359c4pwwmfk

原文链接 http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2046%20e%20pi%20and%20i.pdf

数学上最为著名的公式，在所有的科学中被写成两种不同的形式：

$e^{\pi i}=-1$ or $e^{\pi i}+1=0$

同时，这也被人们称作Euler恒等式，Euler公式或是Euler等式。无论它长什么样，被叫做什么，它都在人们评选的各种各样的“排行榜”的前列。最早的是在1988年由Mathematics Intelligencer的David Wells发起的“最漂亮的定理”的调查。然后是2004年由Physics World的编辑们选出的“最伟大的等式”，最后是2007由美国国家数学协会的"Euler的最伟大的定理"

不管人们称它为方程，等式还是恒等式，也不管它被写成什么样的形式，几乎所有人都将发现的荣耀归于Euler。但这并不能完全说明为什么人们将此功劳归于Euler，因为他从未以这两种形式写下这个公式，也因为他并不是第一个知道这个公式背后隐藏的事实的人，更因为他自己将这个公式的发现的功劳归于他的导师，Johann Bernoulli。在本期专栏中，我们将会追寻Euler恒等式的源头，看看Euler所做出的贡献，并考虑这个恒等式是否被正确命名。

阶段一：1702至1729

有两个公式与Euler恒等式有着紧密的联系。第一个我们称之为Euler方程：

$e^{i\theta } =cos\theta +isin\theta$

欧拉恒等式是欧拉方程在 $\theta =\pi$ 的时候的特殊情况，第二个方程被称为棣莫弗（DeMoivre）公式：

${(cos\theta +isin\theta )}^{n} =cosn\theta+isin\theta$

下面是Euler方程的一个简单变换

${(cos\theta+ison\theta)}^{n}=(e^{i\theta} )^{n} ={e}^{in\theta}=cosn\theta+isinn\theta$

棣莫弗公式与Euler公式之间的关系可不仅仅是这么简单。

1712年，英国数学家Roger Cotes（1662－1716）在研究螺旋线的弧长的时候，似乎是第一个发现与Euler方程等价的公式：

只需要将公式两边做为e的幂，就能够得到Euler公式，但很明显，Cotes从未做过这样的变换。并且，Cotes在1716年就与世长辞，还来不及发表他在这个领域的大部分研究成果。

我找不到太多有关于棣莫弗是如何发现他的公式的，例如他是怎样推导出来的，当他发现这个公式的时候是怎么想的。Mactutor告诉我们：

棣莫弗在1722年发表的文章中的公式形式显示，它与他在1707年发表的文章中的公式有着很紧密的联系。

Cotes和DeMoivre都住在英国，生活在Newton-Leibniz争论的年代，欧洲大陆的科学家们都刻意的无视英国数学家们的研究成果。

同时，在英吉利海峡的例外一端，Johann Bernoulli（1667-1748）正在揭示着复数的一些几何性质。1702年，他给出了一个公式，用来表示一个以原点为中心，半径为a，夹在x轴与（x,y）之间的扇区的面积：

$\frac{aa}{4\sqrt{-1} }ln\frac{x+y\sqrt{-1}}{x-y\sqrt{-1}}$

25年之后，在1727年，Bernoulli与他年轻的学生Euler一同研究等式 $y={(-1)}^{x}$ .在他们讨论的过程中，他们发现了负数的自然对数。Bernoulli认为 ln(-1)=0

,因为：

同样的推导适用于所有的负数。但是令他们感到困惑的是他们同样能用令人信服的推导“证明“ln（－x）＝ln（x）

Euler在Bernoulli1702年发现的公式中，将x=0带入，得到了四分之一圆周的面积。于是他认为 $\frac{aa}{4\sqrt{-1} }ln(-1)$ 是非零的有穷的数。但是如果先前Bernoulli计算的 ln(-1)=0

是正确的话，那么扇区的面积将为0.Bernoulli认为这个解释无法信服，这件事情就慢慢的平息下去了。

如果Euler能够就他的证明更深人的看下去的话，他就能够发现圆周的四分之一面积为 $\frac{\pi a^{2} }{4}$ ,那么他就得到 $\frac{a^{2} }{4i}ln(-1)=\frac{\pi a^{2} }{4}$ ,就能得到 $ln(-1)=\pi i$ .从这个公式，随即就能得到 $e^{\pi i}=-1$ ，但是Euler并没有走到这一步。

两年之后，Euler发表他有关与Gamma函数的文章。在这篇文章的一个例子中，他告诉我们一个特殊的无穷乘积的值为 $\frac{1}{2} \sqrt{iln(-1)}$ ,这个值与直径为1的圆的面积的平方根相同。

直到1729年，已经有四个不同的科学家，DeMoivre,Cotes,Bernoulli和Euler（两次），发现了欧拉恒等式背后隐藏的本质，但是他们当中没有一人意识这个的重要性，也没有人写出我们今天熟悉的式子的形式。

阶段二：十八世纪四十年代

让我们跨越到1740年代，那个时候，Euler正在写他的伟大的著作”无穷分析小引论“（Introductio in analysin infinitorum，这本书被称为数学史上的七大著作之一）。Euler将他在四十年代的大部分时间都用在这本书上，但是当他完成之后，他却难以找到人为他出版这本书。最后，在1784年他找到了瑞士的一个出版商出版了这本书。时至今日，许多认为，这本书是他们读过的最为伟大的一本数学著作。

这本书的第八章叫做”来自圆的超越量“，在这一章中，Euler第一次将sines，cosines当作函数对待，而不是线段的比率，而这一做法大大推动了将函数做为数学中的基本概念的趋势。

Euler在这一章节的第一部分中建立了sine，cosine和tangent函数的基本性质，与我们今天知道的性质十分的相识。然后，他使用复数做为自变量。他告诉我们”既然 ${(sinz)}^{2}+ {(cosz)}^{2}=1$ ,我们可以分解称为 (cosz+isinz)(cosz-isinz)=1