欧拉是如何做到的？(五)－奇完全数

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我们今天讨论的主题，是在十八世纪并不热门的一个数学领域－数论。Euler发表了超过100篇有关数论的文章，但是他的第一本有关数论的书籍却是在法国大革命的第六年出版的，而直到1798年才被世人所知。三年以后，Gauss出版了他的著名的《算学研究》。
对于数学历史上许多的问题，如果你不满意一个问题的答案，你可以用另外一种方式去理解它，从而得出不同的答案。欧几里德的著作中有几卷是涉及到我们今天所称的数论。例如一些非常重要的定理：求最大公约数的欧几里德算法，素数无穷性的证明，如果一个形如的数为素数，那么则被称为完全数。

1656年Frans van schooten出版了一本鲜为人知的重要著作－Exercitationum mathematicarum libriquinque－这是一本有关于数论的书籍，在这本书中，Frans van schooten叙述了如何寻找亲和数。这本书并没有产生Frans van schooten所期望的影响力。人们阅读他编著的Viete著作集和笛卡尔的拉丁文版的《几何》，而当人们阅读他的这本书籍的时候，往往只是阅读附录－Christian Huygens所著的一篇概率论历史上经典的文章。这是另外一个话题了。

Euler编写了第一本的教科书，但是并没有出版，大家对此都已经见怪不怪了。有一部小有名气的手稿－“Tractatus de numerorum doctrina capita sedecim quae supersunt”-这本书有16章节。很明显，这只是Euler计划编写的一本有关数论的教科书的一部分的原始手稿。他一定不希望这个手稿就这样被出版，这份手稿只在1849年出版过一次，那时Euler已经去世66年了。我们无法确定Euler究竟是什么时候编写这本书的，但是可以推测，他应该是在1756年以后编写的，因为这本书包含的一些内容是在1756年左右发表的。大多数研究Euler的学者认为，他应该是在1783年前左右写的，也就是在他去世不久前写的，但是我们难以拿出更多的证据支持这个论点。Andre Weil对于Euler是何时编写这本书，有着自己的看法。

我们首先列出这本书的十六章节的标题：

第一章：合数

第二章：数的因数
第三章：数因数的个数与和
第四章：互质数与合数
第五章：余数
第六章：等差数列各项的余数
第七章：等比数列各项的余数
第八章：数幂被素数除后的余数
第九章：形如的数的因数
第十章：平方数被素数除后的余数
第十一章：三次幂被素数除后的余数

第十二章：四次幂被素数除后的余数

第十三章：五次幂被素数除后的余数
第十四章：平方数被合数除后的余数
第十五章：形如xx+yy的数的因数
第十六章：形如xx+2yy的数的因数

从这些章节的标题可以看出，Euler写这本书的主要兴趣是研究这些可以写成xx+nyy的素因数。很有可能他计划了更多的形如“形如xx+nyy的数的因数”的章节。Euler从十八世纪四十年代至五十年代开始写相关主题的文章。我们已经在2005年12月和2006年1月的两次专栏上叙述了其中的两篇。

相比之下，很明显高斯在撰写他的《算学研究》的时候有着不同的计划。从他的书的目录可以看出来，他将重点放在了第四章节的二次互反定理和第十七章节的正十七边形的画法。（Gauss在前言说到，他并没有在本书中完成他所有的计划，正如他在第八章节内容中提到的东西并没有包含在本书中。）我没有机会读勒让德（Legendre）的书，所有我只能猜测他在书中写了什么。

让我们回到Euler的书上来。Euler的书先从一些基本的概率开始，给出了一些数字，数列，素数和一些其他基本对象的定义。他特别指出，是a的n倍大小的数，也是n的a倍大小，并且。在书中的第32段（总共586段），他告诉我们素数是“那些不能被其他其他数相除的数”，并且在他列出来的一些素数的列表中，包含了1.但是在手稿中的其他部分，Euler似乎并没有把1当成素数看待。如果Euler能够有机会对他的手稿进行第二次修改的话，对于这种细节问题，他一定会进行修改。

Euler不久就提出了一种根据整数的素因子（可以相同）来对整数进行分类的方法。素数是第一类，完全平方数和两个素数相乘的数是第二类，比如4，6，9，10和14。12＝2×2×3,因此12是三类。他给出了高达100类的数，并指出在小于100的数中，只有64和96是第六类的数。

我们今天已不再用这种方法了，但是Euler，就如同以往一样，一定有着他自己的理由与想法。他根据整数的素因数分解中不同素数出现的频率，将不同类的整除分为不同的类型。例如一个第二类的整数，如果有着形如pp的形式，则被分为第一类，例如4或9.如果有着pq的形式，这被分为第二类，比如6或15.类似的，第三类整数可被分为三种类型，.Euler一定意识到－但是他从未提到过－一个类型的数的种类的个数与这个类型的类型号（这里的类型的意思就是，比如第三类，那么类型号就是三）的整数分划有关。

在现代数学中我们从没有见过这样的分类方法，尽管当Van Schooten和Euler在寻找亲和数的时候使用过类似的方法。这里我们用一种更为简单的方法诠释Euler所说的整数的因数的个数－一个整数形如,那么它的因数的个数为.这个函数被称为因数函数，有的时候被写成或是.

Euler接着将目光转向了整数n的因数之和，他用积分符号来表示整数因数的和，但是在现代数学中我们使用或是,这个函数被称为“Euler函数”。有了这些先前的准备工作，Euler很容易就能展现素数的威力了，，如果我们知道一个整数的的素数分解，如，那么.

Euler证明了一系列与此函数有关的引理，比如，如果，并且如果n=1，则.Euler只是对他在这里使用“>”符号有点困惑。我们从来没有见过Euler使用过符号，而在这个引理中他似乎应该使用这个符号。Euler用计算了60以下的所有整数。

他证明的另外一个引理是：如果,为最简分式，N不为1，那么有m>n,并且有N＝n。

在第106段（第三章节），Euler定义了完全数：如果，那么N为完全数。这与欧几里德定义的完全数有一点差别。欧几里德定义的完全数是整数的因数之和与其本身相等（不是Euler定义的两倍），但是欧几里德的因数中并不包括整数自己本身。

Euler并没有在他书中的前部分的段落中的例子里指出这些差别。他给出了两个例子，和，所以6和28都是完全数。也许Euler本打算在下个版本的手稿中加入，或者他想将这些差异留待读者自己发现。Euler开始寻找完全数了。

首先，他假设N是个偶数，那么，N可以分解为一个2的幂与一个奇数A相乘。那么得到

可推出

式子的右边是一个分式，分子只比分母大1，所以这是一个最简分式。根据他的引理，,因此，并且A为素数。由此我们可以得到一个结论，所有的偶完全数有的形式，并且，A为素数。这是欧几里德的著作的第六卷中的第36个定理的逆定理，并且是首次对这个逆定理的证明。

现在我们来关注本专栏的主题，Euler对于奇完全数的研究。假设N为一个奇完全数，它的因数分解为。Euler默认A,B,C,D为不同素数的幂，尽管他并没有明确地这样说过。既然N为奇数，那么它的所有因数也必然都为奇数，并且由于它的素因数是不相同的，我们可以得到

数字2N是一个奇数的两倍，这个数被Euler和欧几里德称为“oddly even”（意思为能被2整除，不能被4整除的数）。由此可知，中一定有一个为“oddly even”，其它的为奇数。

假定A,B,C,D中的B使得为奇数，,有Euler之前的研究可得，,因为p为奇数，所以这是n＋1个奇数之和。要使得因数之和为奇数，则n＋1必须为奇数，这使得n为偶数。这也就意味着B是素数的偶次幂，B必定为一个完全平方数。

由以上可以推出，N的各个（）分解部分，除了其中一个其它的都一定是完全平方数。假设为A，则有为“oddly even”。
Euler告诉我们，如果我们将A写成的形式，那么要使得为“oddly even”，p必须为形如素数的4n+1次幂，那么m则为奇数且形如。他并没有告诉我们是如何推导出以上结论的，也许他计划在以后填补上这些细节。或许我们能完成这些推导的工作。

奇数有两种形式4n+1或是4n+3。首先，我们将会证明q不可能为4n+3的形式。假设q=4n+3，那么q的幂模4（mod 4）为1或3（Guass从没有使用 ‘mod’这个符号，这个符号的最早使用者是Gauss。）。由此可知，模4为1或为0.由此可知并不是一个“oddly even”。

假设q=4n+1，那么q的幂模4都为1.那么模4等于（m＋1）mod4.当m模4为1的时候，为“oddly even”，这正如Euler所说的m形如。

最后Euler给出了他的结论：一个奇完全数有着的形式，其中P为奇数，4n＋1为素数。