Yongwei Xing's base with ET: 欧拉是如何做到的？(一)--数幂之和

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This article is original from a column named How Euler Did it which is on the MAA(Mathematical Association of America) site. I try to translate it to Chinese to make more people know it, and make it as a study note for myself.

许多人都对整数的数幂之和有很大的兴趣。例如下面的这个公式：

本专栏的许多读者都对其十分的熟悉，许多人甚至对其繁多的证明还有不同的喜好。而对于那些最近正在学习或是正在教数学归纳法的人来说，下面的这个式子一定十分的眼熟吧：

而对于下面的这个式子，是无需过多说明的：

确实，有的时候看起来，数学归纳法存在的主要目的似乎就是让学生们去证明那些恒等式。Euler对这些恒等式十分的熟悉，事实上，他至少知道直到八次幂的恒等式：

Jakob Bernoulli[Bernoulli 1713]在他死后发表的巨作Ars conjectandi中对数幂之和有过很详尽的表述。因为Bernoulli将这本书留给了他儿子－Nicolaus－去编辑出版，而小Bernoulli与Euler是好朋友，因此Euler对这本书十分的熟悉。

Bernoulli对于这些问题的解决方法，与现在所说的高等数学和一个特殊的数列（被称为Bernoulli numbers）都有着联系。他的工作是详尽并且是正确的，但是过于繁琐一点也不简单。当Euler着手于此，问题从如何求出数幂之和变为如何找出一种更为简单，并且容易记住的方法。Euler在他的晚年开始考虑这个问题，并在1776年他写了一篇名为“De singulari ratione differentiandi et integeandi,quae in summis serierum occurrit”的文章论述这个问题。

Euler在发现模式和计算上就是一个天才。当他在1776完成这个问题的时候，他已经失明了。他是在助手的帮助下，口述，由助手记录下他的话语。Euler用

标记前x个自然数的n次幂之和，就是：

他求出了当n从0到8时，

的值，并且开始寻找相应的模式.

这里，为了帮助我们更容易的看出相应的模式，Euler用“*”来表示那些缺失的多项式的项。Descartes（笛卡尔）早在150年前就已经使用“*”来表示占位符了。

其中的一些模式十分的明显。例如，

的第一个项总是 $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ ,这看起来就像是对 $x^{n}$ 的一个积分。而第二项总是 $\frac{1}{2} x^{n}$ .并且，当出现一个“*”或是一个负数项的时候，在随后所有的式子的相同位置上，也是一个“*”或是一个负数项。这些模式在以上所给的式子中并不能很清楚的看出，但是，在同一个式子中，非零项与缺失项（“*”），正数项与负数项总是交替出现。如果读者对Bernoulli numbers熟悉的话，那么你们就会发现它们有着一些相识的特点。

还有两个模式我们或许没有注意到，但只要注意到，就会发现，它们其实是显而易见的。首先，式子中没有一个常数项。这是因为如果我们设x＝0，那么 $\sum_{}^{}{x}^{n}=0$ .同样的，这些式子的系数之和总是等于1，这是因为当x＝1的时候， $\sum_{}^{}{x}^{n}=1$

以上还是一些简单的部分。Euler发现了一些更为细微的模式，将会在随后的部分依次叙述。

首先：

$\sum_{}^{}{x}^{0}=x$

为了解释方便，我们将写成以下的形式：

$\sum_{}^{}{x} ^{n}=x+0$

将式子右边的两项分别乘上 $\frac{1}{2} x$ 和 $\frac{1}{1} x$ ,然后加上一个一次项 $\alpha x$ , $\alpha$ 用来表示使得所有项的系数之和为1的未知数。在这个例子中， $\alpha$ ＝ $\frac{1}{2}$ ，于是我们得到了 $\sum_{}^{}{x} ^{1}$ 的式子：

$\sum_{}^{}{x}^{1}=\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} x$

现在，我们分别乘上以下三项（这次我们没有写出"+0"这一项）

$\frac{2}{3} x,\frac{2}{2} x$ and $\frac{2}{1} x$

并且再次加上一个一次项 $\alpha x$ , $\alpha$ 用来表示使得所有项的系数之和为1的未知数。这次， $\alpha=\frac{1}{6}$ ,于是我们得到了以下的这个式子：

$\sum_{}^{}{x} ^{2}=\frac{1}{3} x^{3} +\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{6} x^{}$

总的来说，Euler通过分别用 $\frac{n+1}{n+2}x, \frac{n+1}{n+1}x,\frac{n+1}{n}x,...\frac{n+1}{2}x,\frac{n+1}{1}x$ 乘上 $\sum_{}^{}{x}^{n}$ 的各项，然后加上适当的一次项，来得到 $\sum_{}^{}{x}^{n+1}$ 的式子。Euler注意到， $\alpha$ 的值依次为1，1/2,1/6,0,-1/30,0,1/42,0,-1/30,0...,就是一个Bernoulli数列。他先前已经见过这个数学多次，特别是在他为偶数n计算Zeta函数 $\sum_{k=1}^{\infty }{\frac{1}{k^{n}}}$ 和解决Euler-Maclaurin公式的时候。

观察到这些模式之和，Euler试着去解释这个想象。他引入了微积分，正如最先介绍的每个幂数和的第一项的模式规律一样，Euler写出下列的式子：