Wednesday, December 30, 2009

新华日报 40年代社论集目录

“中国的缺点就是缺乏民主
     应在所有领域贯彻民主”
 ……………………………… 12
民主第一 …………………………………………………………14
中国要求的只是民主 ……………………………………………16
要真民主才能解决问题 …………………………………………17
我们要看货色 ……………………………………………………19
是不是代用品呢?  ………………………………………………20
不是空喊民主 ……………………………………………………22
民主与诚实 ………………………………………………………24
不能因国民程度不高而拒绝民主
        应用民主政治教育人民提高人民
 ……………………26
“我们相信着、并且实行着民主”  ………………………….28
强大而民主 ………………………………………………………29
民主与国情 ………………………………………………………31
诸葛亮与阿斗 ……………………………………………………33
民主的真义 ………………………………………………………35
实现自由是“不切实际”吗?  …………………………………37
民主精神 …………………………………………………………40
有人民自由才有国家自由 ………………………………………42
民主的才是合法的 ………………………………………………44
民主是发展生产的暧室 …………………………………………47
自由不是专卖品 …………………………………………………49
人民真有发言权的国家才是真民国” ………………………50
科学、民主,继续前进
    ——鲁迅先生逝世六周年纪念.……………………………52
中国需要“变” …………………………………………………54
一切光荣归于民主 ………………………………………………55
争民主是全国人民的事情
让人民思想!民主最大的危机就在你的冷淡……………………60
争民主是全国人民的事情 ………………………………………64
为民主拚命 ………………………………………………………67
工程师和民主 ……………………………………………………68
关心政治·改良政治 ……………………………………………69
民主主义的利刃
论英美的民主精神 ………………………………………………70
象征民主自由的日子 ……………………………………………73
民主颂——献给美国的独立纪念日 ……………………………76
美国独立日——自由民主的伟大斗争节日 ……………………78
纪念杰斐逊先生 …………………………………………………82
真实的民主战士 …………………………………………………84
民主主义的利刃 ——美国的民主传统  ………………………87
为了人类 …………………………………………………………88
“ 每一个在中国的美国兵都应当成为民主的活广告”
    ——1944年毛泽东与谢伟思等人的谈话 ……………90
中美两国是天然的盟友
    ——1944年毛泽东与谢伟思等人的谈话 …………………92
我们并不害怕民主的美国的影响,我们欢迎它
    ——1944年毛泽东与谢伟思等人的谈话
 …………………93
华莱士先生的伟论:
       中国人民早就有实行民主政治的准备…………………96
罗斯福的广播演说:四大自由 …………………………………99
东西不同论(二则)……………………………………………102
延安印象记:共产党对美国的友谊是真诚的  ………………103
加强中美人民的合作……………………………………………105
美国人民的理想与民主精神……………………………………107
让思想冲破牢笼   
驳“灌输”理论…………………………………………………112
奴隶的语言………………………………………………………115
读书与自由………………………………………………………117
论“天真无邪”…………………………………………………119
沙漠化的愿望……………………………………………………121
文艺必须争取民主,只有民主才能保证创作自由……………126   
言论自由与民主…………………………………………………128
新闻自由——民主的基础………………………………………129
报纸应革除专制主义者不许人民说话
        和造谣欺骗人民的歪风
………………………………135
为笔的解放而斗争——“九一”记者节所感…………………138
言论自由:新闻事业的活力之源………………………………140
记者风格:威武不屈、秉笔直书!… …………………………142
要为真理而斗争…………………………………………………145
民主主义的剑……………………………………………………147
出版法应是民间出版事业的自由保障书………………………148
救救出版业和读书人……………………………………………150
以出版自由繁荣出版业:
        解除精神匮乏的不二法门……………………………151
论学术自由………………………………………………………154
奖励自由研究……………………………………………………157
论学术思想的自由问题…………………………………………160
中国需要真正的普选
人民文化水平低,就不能实行民选吗?
  ………………………167
论选举权…………………………………………………………170
竞选………………………………………………………………174
民主一日不实现,中国学生运动一日不停止
学校要做民主的堡垒
……………………………………………176
斥“人格教育”…………………………………………………179
纪念“五四”,贯彻为民主自由的斗争………………………183
民主和自由新论…………………………………………………186
争取自由解放的中国学生………………………………………189
“民主一日不实现,
      中国学生运动一日不停止”……………………………192
睽睽众目岂容狡辩 , 屠杀学生罪责难逃  …………………195
中国统治者的“进步”…………………………………………199
为死难学生呼吁…………………………………………………200
德国纵火案和昆明惨案…………………………………………201
人民是骗不了的…………………………………………………202
反动派也该想一想:人民岂可轻侮……………………………203
希特勒的法宝应该收起了………………………………………204
青年教育与思想问题 (节录) …………………………………206
美国的教育和民主………………………………………………215
目前青年运动的主要任务是争取民主…………………………218
重视青年…………………………………………………………220
中国私人资本主义必须得到    广泛、自由发展的机会
只有解放区才能真正发展私人资本主义………………………221
战争结束后,私人资本必须得到
        广泛、自由发展的机会 ——1944年
         7月14日毛泽东答根舍·斯坦因问…………………225
“中国人民都不准备实行社会主义, 谈论
       立即实行社会主义就是‘反对革命’, 试图
               付之实行就是自取灭亡”—— 1944年
               毛泽东与谢伟思等人的谈话 ………………226
政治民主和经济民主不可分……………………………………229
天赋人权  不可侵犯
切实保障人民权利………………………………………………238
保障人权…………………………………………………………241
平民人身自由是政治民主的标尺………………………………242
保障人民自由的开端……………………………………………244
人民基本民主权利的保障
       —— 论张君励先生的建议案…………………………247
集会结社自由的实现……………………………………………249
人民自由又遭损害,内政部颁限制游行法
——在“呈报”、“审查”的一串规定下
      人民游行已无自由可言…………………………………253
快释放政治犯……………………………………………………254
法治与人权………………………………………………………255
一党独裁,遍地是灾!
一党独裁,遍地是灾! …………………………………………259
结束一党治国才有民主可言……………………………………262
中国共产党不是苏联那样的共产党
不会模仿苏联的社会和政治制度
         ——1944年毛泽东与福尔曼的谈话 ………………263
“共产党员只有与党外人士民主合作的义务
        而无排斥一切垄断一切的权利”  …………………266
新民主主义的宪政………………………………………………269
       
一党专政是反民主的,
              共产党绝不搞一党专政
 …………………&h ...

来自奇小怪的原链接
没有民主,一切只是粉饰
民主主义是生命的活力 …………………………………………8
没有民主一切只是粉饰 …………………………………………11

作文课

上中学的时候,最不喜欢的就是作文课,因为不喜欢写作文。或者说没东西写,写不出来。高中是要写800字,一页作文我记得大概是360字左右。这个时候就比较痛苦了,每次就像便秘一样,一粒粒的拉出。当然在考试的时候,作文也是很能拉分数的一项。如果你规规矩矩的写,不要求标新立异,也不求特别的出众,只要你能按着八股文的写法来写,60分的作文你能拿42到48,如果你稍微有点文采的话,也许就能到50或是52,你要是想要拿54以上的分数,老师就会跟你说,这要有思想性,还要有文采。
不像现在写Blog,随便一写就是七八百字,一不小心就上千。现在当然不是文如泉涌,下笔就能生花。但是至少说明,现在写的是我想说的,我想怎么说我就怎么写。这是我真实情感的反应。而文章贵在真实。我们都是应试教育下出来的产物,都知道高中的作文课就是一坨很大很大的×。把这些罪过全部归结于各个学校的语文老师是不太公平的,这个罪过可以归结的很深很深,很不和谐的。但做为第一线的语文老师,不可避免的有着直接的罪过。高中的时候,老师会叫你要多写议论文,因为高考考的就是议论文。那么议论文怎么写呢?当然有公式可以套,开头要起的漂亮,中间要写的饱满,结尾要有力。一句话,要花里胡哨的把老师给蒙住。最好一开头就弄点名人名言,警句格言,诗词歌赋什么的。华丽丽的开场就可以把老师唬的一愣一愣的。中国现在的这些中学语文老师,并没有你们想象的那样所谓的满腹经纶,能不误人子弟就不错了。他们与旧中国三四十年代的国文老师那是天差地别。只要你敢胡弄,十有八九都能胡弄过去。中间议论的部分,如果你想走点保守路线的话,一般分为两到三段。主要手段是摆事实讲道理。摆事实的话,就丢点名人轶事过去。你没读多少课外书,只知道爱迪生被打耳光,朱德的扁担什么的,没关系,老师会给你推荐或是印一些名人的事情给你,你就照着背,到时候能记得写出来就行。讲道理的话,一是干讲,二是还是穿插名人名言,诗词歌赋什么的。最好弄点排比句什么的,比较有气势。这些老师改的作文不下万篇,一般的也都看腻了。你要是想抢个彩头的话,就要想点跟别人不一样的东西。别人写余秋雨,你就要用萨特,别人用王兆山,你就要用王守仁,人家用甘地,你就用艾未未。总之什么偏门用什么,反正老师也不一定懂,也不好不懂装不懂,只能不懂装懂。最后的结尾要圆满的话,要么是写的慷慨激昂一点,可以依然用别人的话语来辅助,要么就写的阴柔或是虚无缥缈一点,总之还是一句话,要花里胡哨的把老师给蒙住。如此下来,你的作文也许不能帮你拉很多分,但至少不会给你拖后腿。当然不能过与花哨,太花哨的话,没有任何内容,只会给你灾难性的后果。
现在说教育改革,高考作文的题目也是五花八门,花里胡哨的,不要被那些题目材料给吓蒙了,万变不离其宗,现在的教育体制下根本出不了什么好的题目,除了那年的《假如记忆可以移植》是个异类。看到题目抓出主题,是客服困难的还是坚强意志,是讲亲情的还是友情的。一旦抓住这些,你就知天命尽人事吧。
建国以后,中国就没有真正意义上的文学了,文学就是一个童养媳,这老爷取乐玩笑的,开心的时候,让你唱个曲,跳个舞什么的,不高兴的话,扒光你的衣服,上完你之后,再把你丢出去游街示众。你不仅不能显出怨恨的神情,还要显出一种高潮后的满足感。最好还能娇嗔的说“纵做鬼,也幸福”。

Sunday, December 27, 2009

人民有选择低俗的权利

仅以此文纪念逝去的和菜头的博客和Google Groups。
继多年以前的“很黄很暴力”和现今的“心神不宁”之后,我们可供选择的低俗的范围是原来越小了。暂住在自己的祖国不说,上缴的税收不知去向不说,我现在连低俗猥琐的权利都被限制,而这一切还有一个很好很强大的理由--为了祖国的下一代。我就不明白了,美国人民的下一代就不是花朵?日本人民的可爱小loli和小正太就不是花朵?中国人民的下一代就脆弱成这个样子,经不起一点点的风雨?上个世纪的六七十年代的美国,是风起云涌的美国,是社会发生剧烈变革和动荡的时代,这个时代的青少年被描绘成了“垮掉的一代”,新的世纪到来了,这个垮掉的一代并没有跨,反而成长为这个超级大国新的时代的中流砥柱。日本这个色情业无比发达的国家,为多少亚洲人民带来了欢乐。虽然在此成长起来的人们玩着一些我们不太能够理解的游戏,但是人家自得其乐,依然也还是好好学习,天天向上,几十年玩下来,日本人民依旧两手都在抓,精神文明和物质文明双丰收。而我们这些沐浴在春风中,长在红旗下的小花骨朵,却在演绎着一出出精彩的“门事件”。
保护下一代,我没有意见,做为弱势群体,社会,家庭,政府有责任有义务去保护这个特殊的群体。但是,我们却舍本求末,做一些很SB的事情。在国外很多地区与国家,不满一定年龄是不允许购买含酒精类的饮料,不允许购买香烟,不允许出入一些娱乐场所。不能说他们的每个商家都严格执行这些规定,但是绝大多数的正规商家都是严格遵守这些规定,而不是像我们的商家只是将规定挂在门口就完事而已,他们也是精神文明和物质文明双丰收。
一方面网上的低俗网站被关闭,另一方面,社会上,媒体上的低俗事件却是层出不穷,让人应接不暇。小沈阳可以尖着嗓子穿女装,我为什么不能看苍井空的写真?陕西林业厅可以把照片从假的说成真的,我怎么就不能上色中色看一些更有意义的照片?电影院里面可以常年累月的放一些烂片中的奇葩,我怎么就不能欣赏一下吉泽明步的片子?你可以保护孩子,你去保护,凭什么侵犯成年人猥琐低俗的权利?我们乐意被侵蚀,被毒害,怎么着了?天赋人权,我们不仅有生的权利,也有选择低俗猥琐的权利。千万不要说什么是为了社会的和谐与稳定。一个苍井空,一个松岛枫就可以让有着960万平方公里,14亿人口,5000年历史的国家的社会不稳定,不和谐?如果日本想要再次侵略中国,我会建议他们不要派军队了,因为你们不论多强大的军队都会被中国的城管和拆迁队伍给打死。你们还是把苍井空空投过来,我们的社会就会大乱。
最近又有件事情,你要是在KTV点黄色歌曲,会自动报警。我只想说,为了能让《梅花》和《中华民国颂》能在香港和大陆演唱,刘家昌将《梅花》中的国花改成了梅花,将《中华民国颂》里面的中华民国改成了中华民族。
附原歌词
青海的草原,一眼看不完, 
喜马拉雅山,峰峰相连到天边, 
古圣和先贤,在这里建家园,
风吹雨打中耸立五千年, 
中华民国,中华民国, 
经得起考验, 
只要黄河长江的水不断, 
中华民国,中华民国,
千秋万世,直到永远。

Saturday, December 26, 2009

One minute on earth


小诗一首


畅谈民意听证会 通货从来不膨胀 红色歌曲人人爱 中国没有黑社会
数据精准统计局 流量点击信百度 摄影当推周老虎 优质三鹿需口服
道德卫士杨振宁 历史奇才阎崇年 人人待富厉专家 为民说话逯局长
不骗不赌看男足 刘翔真的是脚伤 物美价廉动车组 门可罗雀绿车皮
降价压价发改委 重教爱生教育局 不愁上学不愁医 不愁住房不愁妻
拉动内需靠农民 自主产权大飞机 月饼吓瘫欧美日 水师威震索马里

秉公执法在法院 教唆翻供好律师 敢于碰硬检察院 国家赔偿大手笔
纸币开铐真容易 鞋带上吊好聪明 执法公平在昆明 要学雷锋去南京
秃警抓嫖显战绩 特警只喝王老吉 要讨公道上法院 看病吃药好便宜
莺歌将军跳艳舞 茅台进入百姓家 天朝百姓不差钱 群众天天盼涨价
学者教授素质高 忧国忧民来教导 股票大涨形势好 小孩老人都来炒
金融危机吓不倒 拉动内需真有效 物价指数不算高 世界都夸中国好
世博嘉宾冯正虎 暴力抗法唐福珍 别有用心一小撮 不明真相围观者
以民为本众公仆 民族和谐大团圆 无产阶级共产党 中华人民共和国

歌声嘹亮震九州


为庆祝伟大祖国母亲60华诞,丰富住院精神病人的文化生活, 11月26日,在市精神病医院操场举行了“医护人员和住院患者同唱红歌比赛”。此次比赛由医院策划组织,精神科全体医护人员和住院患者积极参与。他们用美妙的歌声,表达自己对祖国的无限热爱之情,向祖国送上一份诚挚的祝福。
    该次比赛得到了市委宣传部、市民政局的大力支持,市民政局党委书记、局长、老龄办主任何正月,市民政局党委委员、副局长纪昌兴等领导亲临现场与广大医护人员及住院患者共同观看了红歌演唱比赛。
通过本次比赛,极大的调动了住院患者们的热情,培养了大家的团队意识和集体荣誉感,同时也是一次重要的爱国主义、集体主义和民族精神教育,对我院的康复治疗与共建和谐医院起了积极的推动作用。
    全体参赛住院患者精神饱满,士气高昂,用他们整齐的队列,飒爽的英姿、嘹亮的歌声接受医院特邀的市文艺界专家评委的检阅。让《没有共产党就没有新中国》、《走进新时代》、《阿瓦人民唱新歌》等洋溢着爱国主义激情的歌曲在操场上飞扬。女康复病区演唱的《北京的金山上》和《阿瓦人民唱新歌》,以别出心裁的二重唱,整齐的用手击拍,从参赛队中脱颖而出,一举夺得一等奖。此外,男治疗二病区、老年精神科二病区分别荣获二、三等奖,康复科荣获本次比赛的组织奖。
http://smzj.ziyang.gov.cn/display.asp?id=1016

Thursday, December 24, 2009

黄丝带




1971年10月14日《纽约邮报》刊登了一篇小说:长途车上坐着一位沉默不语的男子,在同车的年轻游客的盘问下终于开了口。原来他刚从监狱出来,释放前曾写信给妻子:如果她已另有归宿,他也不责怪她;如果她还爱着他,愿意他回去,就在镇口的老橡树上系一根黄丝带;如果没有黄丝带,他就会随车而去,永远不会去打扰她……汽车快到目的地了,远远望去,镇口的老橡树上挂了几十上百条黄丝带,车上的乘客都欢呼起来。这个动人的故事被作成了歌曲,伴着歌声这个故事也传遍了全世界。黄丝带也成了美国“欢迎被囚禁的人重获自由”的标志。
1979年,伊朗人质危机爆发,当时美国的共和党就鼓励人民用系上「黄丝带」来表示对人质的怀念。除了「伊朗人质危机」之外,八十年代中期,里根全力炒作越南仍有美军俘虏这个话题,也再度发起「黄丝带运动」。系上黄丝带代表的是对人质或下落不明俘虏的一种关怀与支持。这种以「黄丝带」表示对下落不明者的关怀,随着美国文化的全球化而扩散,白晓燕案在尸体尚未寻获前,就有许多人系上黄丝带。
911事件发生后,也有许多人配戴黄丝带。到了SARS期间,也有发起过黄丝带运动,当时代表的意思则是「接纳、关怀与协助」。2008年5月12日“汶川大地震”,“黄丝带”行动在这个时候再次被人们倡导起来!!人们在这次汶川地震时期,发起“黄丝带”行动为震区祈福捐款,盼望灾区人民平安等等。

2009年12月23日,再次掀起了一起黄丝带运动,只不过这次运动不被很多人所知。送你一个关键词“刘晓波”。你可以尝试Google 刘晓波Baidu 刘晓波。在两大利器的帮助下,你依然会很疑惑的,我相信。
Update:11年,新的敏感词闪亮登场

《洞穴奇案》


谁看谁知道。应该把大学里面的什么毛邓三丢到一边去,让学生看《1984》《动物农场》《民主的细节》和这本书。

此片一出 万片皆服

在科学的历史上有这么一张照片,我觉的要是不帖出来,有愧于心,有种对不起党对不起祖国对不起人民的感觉。这里面的29人里,有17人是诺贝尔得主。其实仅仅用诺贝尔去衡量他们已经十分的庸俗了。你翻开任何一本现代物理学教科书,满眼都是他们的名字。他们的成就已经不是诺贝尔奖能够衡量的了。


小诗一首


物美价廉奥菲斯 低调奢华阿迪王 安居乐业七十码 节节下跌商品房
两袖清风周九耕 廉价香烟属至尊 卖淫不论处与非 强筋健体俯卧撑
砖窑还是黑的好 娱乐就要躲猫猫 跨省逮捕弘正义 捞尸价格很公道
重庆好人谢才萍 无家可归贾君鹏 公平竞争进国企 择优录取公务员
干净透明全运会 文明执法闵行区 小贩人人爱城管 大楼桥梁坚又牢
畅通无阻全广州 垃圾从来不焚烧 优质放心中国造 和谐盛世我天朝

言论自由中宣部 实话实说中央台 从不删帖互联网 五毛一出天下白
为人师表教育部 学校很难被震坏 公益免费救护车 白衣天使不爱财
一个中国李登辉 和平统一陈水扁 两袖清风做公仆 文明礼貌来拆迁
物廉價美在上海 封闭腐败港澳台 万人空巷看中超 无人问津招聘会
严格把关质检局 为民谋利发改委 文明执法城管队 遵守交规解放军
客观公正听专家 买房要找任志强 税负不重毛毛雨 小额贷款靠银行
人人爱戴公务员 不靠马屁靠能力 美女若想能毕业 不陪叫兽靠自己
生财有道开发商 赚钱不靠刮地皮 官商不曾有勾结 价格公道房价低
专家箴言靠得住 科研项目不抄袭 新闻联播讲事实 民生民权放第一
解决问题靠信访 曝光黑幕有媒体 上访从来内部事 多数都有精神病
老有所养无负担 政府包养高福利 义务教育结硕果 孩子上学负担轻
蒸蒸日上好日子 只有公仆手头紧 社会稳定收入高 一派乱象是美帝

三国志 蜀书六 关张马黄赵

关羽被曹操抓住以后,时时想要先报曹操的恩情,然后拍屁股走人。袁绍派颜良攻打白马,曹操派张辽和关羽去解围。结果关羽入万军之中去颜良首级,解了白马之围。曹操由此封其为汉寿亭侯。曹操知道关羽
报恩之后就要离去,十分的不舍,就让张辽去探口风,结果自然事与愿违。待到要走了,曹操给了很重的封赏,关羽一点了也带走。曹操手下要去追关羽,曹操说到“彼各为其主,勿追也”。
马超降刘备,关羽给诸葛亮去了一份信,想看看这个小子到底有什么才能。谁知道诸葛亮更鬼,早知道了关羽的心思,就说马超很厉害,文武兼修,当世之豪杰,可以和张飞相比,但是很美髯公相比还是有距离的,关羽听了心里很爽。
关羽和徐晃互相都十分敬佩。一日两人在战场上见面,两人远远的坐在战马上闲话家常,只是不聊当前国家形势。聊了一会儿,徐晃下马,宣布到“谁能得到关羽的脑袋,赏千金”,关羽一惊,说到“兄弟,你在干嘛?”徐晃说“俺们公私分明”。
关羽虽然勇猛,但是很自负,对手下也十分的严苛。最后终究由于糜芳和傅士仁的倒戈,败于孙权之手。
张飞一直被认为是粗人,实际不然。他随诸葛亮入川破璋的时候,生擒了猛将严颜。张飞并没有被严颜给激怒,反而亲手释放了严颜,待为上宾。
张飞是“敬君子而不恤小人”,刘备常常对告诫他说,这样做,很危险啊。张飞不听。最终也是祸起萧墙,被张打和范疆给杀了。
刘备立为汉中王的时候,想立黄忠汉升为后将军。诸葛亮对刘备说,黄忠的名望与关羽张飞不能比,你现在却把他们放在了一起。张飞,马超跟着你入川,一起看到了黄忠立下的汗马功劳,也看到了他的勇猛,他们也不会说说什么。但是关羽不在你身边,他要是知道了,心里应该是很不高兴的。刘备说,他会去向关羽解释。
常山赵云赵子龙。刘备被曹操追的四处逃窜的时候,丢下老婆孩子的时候,是赵云救下了阿斗和甘夫人。有人对刘备讲,赵云反了,刘备意志坚定的说,他不会反。
刘备到益州去,留下了张飞和赵云。孙权听说刘备西征,派船去接他妹妹。孙夫人想把阿斗带走,被张飞和赵云给截下了。

不在沉默中爆发 就在沉默中灭亡

昨天上Google Groups就上不去了,今天Google Docs https上不去,http还可以上。不知道Reader Gmail还能坚持到什么时候?像我这种比较高度依赖Google服务的人来说,Picasa Web上不去就算了。Blogger上不去,我也无所谓,反正我发布用Docs,阅读用Reader,没什么特别的操作也不需要直接在网站上操作。可一味的退让,只能让他人越来越嚣张。正如蒋中正在1937年7月31日的《告抗日将士书》中说到的“我们愈忍耐退让,他们愈凶横压迫,得寸进尺,了无止境,到了今日,我们忍无可忍,退无可退了”我能做的也只有这个了。
最新Update:刚刚试过,Google Docs https可以上了,Groups用https也能上了。
再次更新:Google Docs https又不能上了,GFW疯了

FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK GFW!FUCK 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Wednesday, December 23, 2009

小诗三首


感谢河蟹网友点五点嘎的分享
根据豆瓣小组“文艺青年装逼会”的原帖及网络多版本新帖整理
【文人篇】
铁骨铮铮郭沫若 淡泊名利查良镛 坚持原创郭小四 人品高洁余秋雨
温文尔雅周树人 老当益壮是冰心 革命到底张爱玲 从不忏悔乃巴金
大家大业高尔基 洁身自爱大仲马 滴酒不沾海明威 身心健康卡夫卡
循规蹈矩李太白 锋芒毕露陶渊明 大器晚成吴承恩 少年得志曹雪芹
正人君子贾平凹 不惧权贵王兆山 清新少女张抗抗 踏实沉稳属韩寒

【体育篇】
人高马大小梅西, 三寸树皮克劳奇
忠贞不二伊布拉, 朝三暮四数托蒂
冠军无数巴拉克, 国家栋梁点球皮
白里透红埃托奥, 玉数临风俏鲁尼
钢筋铁骨内斯塔, 料事如神有贝利
文雅谦虚魔力鸟, 虚怀若谷推里皮
风流成性看卡卡, 扎根家乡维埃里
老当益壮是舍瓦, 越走越高邵佳一

【娱乐篇】
大家闺秀芙蓉姐 丰乳肥臀李宇春 貌若潘安杨臣刚 字正腔圆周杰伦
韬光养晦韩三平 天生丽质蔡伊林 深沉胖子陈鲁豫 铁嘴白面冷朱军
冰清玉洁武藤兰 九贞八烈小泽圆 清新脱俗杨二姑 贞节模范木子美
百毒不侵满文军 繁花似锦蒋大为 玉洁冰清伊能静 军旅奇葩董文华
专业水准孙正平 从不废话韩乔生 如日中天柯以敏 一言九鼎谭咏麟
中国公民李连杰 气壮山河曾轶可 坐怀不乱陈冠希 贞节烈女范冰冰
青春玉女章子怡 守口如瓶宋祖德 只讲实话中央台 严肃庄重属芒果
闭月羞花冯小刚 铁血男儿小沈阳 禁毒先锋萧淑慎 代言保真唐国强
从不炒作张纪中 洁身自好赵忠祥 谨言慎行孙红雷 文明军花李丹阳
歌唱祖国林妙可 佳片不断张艺谋 经典红楼李少红 优秀记者冬日娜
眉清目秀毕福剑 永葆青春王小丫 世界水准导播厅 庄重内敛大裤衩

欧拉是如何做到的?(六)-Gamma函数



原文链接 http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2047%20Gamma%20function.pdf


Euler给我们引入了两个数学概念“Gamma”,一个是Gamma函数,一个是Gamma常数。Gamma函数\Gamma (x)将阶乘数序列一般化,这是我们这个月讨论的主题。而Gamma常数我们用\gamma 符号表示,它的值大约为0.577。






当Euler1728年到圣彼得堡的时候,Daniel Bernoulli(丹尼尔 伯努利)和Christian Goldbach(歌德巴赫)正在对“序列插值”进行研究。他们的问题就是找出一个能“自然表达”数字序列的公式。例如,n^{2} 表示着平方数的序列,1,4,9,16,...;\frac{n(n+1)}{2} 表示着三角形数的序列,1,3,6,10,15,...这两个序列对n取分数的时候都有相对应的定义,因此说它们能够对这些序列进行插值。






在早期的数学家中,包括Thomas Harriot和Issac Newton,已经创建了扩展的有限差分的计算方法(extensive calculus of finite differences),用来帮助寻找满足不同序列的公式,而他们的工作也推进了微积分的创建。事实上,理解对数发现的的一个方法是从对等比数列的插值入手。






Bernoulli和Goldbach在对两个特殊的数列进行插值的时候被难住了。第一个数列是我们现在称作阶乘数的数列,1,2,6,24,120,720,etc。他们称这个数列为“超几何级数”。第二个数列是调和级数的部分和数列,1,1+\frac{1}{2} ,1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3},etc .


在简单了解了这两个问题后,Euler很快的就将两个问题都解决了(太令人发指了)。本次专栏,我们将注重介绍Euler是如何解决第一个问题的,他将向我们展示如何求(2\frac{1}{2} )!,好像是对2!=2和3!=6中插值一样。






Euler在1729年十月13号向歌德巴赫寄去的一封信中提到了他的解法。他的信开头写到,“尊敬的先生:我一直在考虑那些能够被插值的序列的内在规律......尊敬的Bernoulli先生建议我写一封信给你。”接下来,Euler叙述了“序列”1,2,6,24,120的一般项。如下


(1)\frac{1*2^{n} }{1+n} *\frac{2^{1-n} *3^{n} }{2+n} *\frac{3^{1-n} *4^{n} }{3+n}*\frac{4^{1-n} *5^{n} }{4+n}etc


Euler不对(1)进行简化,写成(2)的形式是有自己的原因的


(2)\frac{1}{1+n}* \frac{2}{2+n}*\frac{3}{3+n}*\frac{4}{4+n}etc

这个原因涉及到无穷项乘积的绝对收敛和“高斯判定”(Gauss's criterion)。(1)那样的形式是收敛的,要是想让(2)也收敛的话,我们需要将(2)写成如下的形式


(3)\lim_{k \rightarrow \infty }{\frac{1}{1+n}*\frac{2}{2+n}*\frac{3}{3+n}....\frac{k}{k+n}*k^{n}  }


我们在这里不会陷于公式形式的细节里面,你要是感兴趣的话,可以找相关的资料来看。Euler在他做出他的定义的时候清楚的知道有个叫做“高斯判定”(Gauss’s criterion)的东西,但是他并没有使用这个判定。






Euler在1729年十月的那封信里面的讲解十分的简洁,但是他在另外的一份文章中给出了详细的叙述。在他的这份文章中,他告诉我们-没有做任何的计算-如果n为0或1的时候,乘积为1.但n为2或3的时候,他给出下面的式子:


\frac{2\bullet 2}{1\bullet 3} \bullet \frac{3\bullet 3}{2\bullet 4} \bullet \frac{4\bullet 4}{3\bullet 5} \bullet \frac{5\bullet 5}{4\bullet 6}  这个式子等于2



\frac{2\bullet 2 \bullet 2}{1\bullet 1 \bullet 4} \bullet \frac{3\bullet 3 \bullet 3}{2\bullet 2\bullet 5} \bullet\frac{4\bullet 4 \bullet 4}{3\bullet3 \bullet 6} \bullet\frac{5*5*5}{4*4*7}etc    这个式子等于6.



Euler给出了一个更为复杂的例子,Euler取m=1/2,得到了一个无限乘积的式子:


\frac{1}{1+1/2}* \frac{2}{2+1/2}* \frac{3}{3+1/2}* \frac{4}{4+1/2}*etc



简化后,就等于:


(4)\frac{2}{3}* \frac{4}{5}*\frac{6}{7}*\frac{8}{9}*etc

这式子看起来没有什么希望能求出来了,但是对于当时22岁的Euler,他已经阅读了大量的数学著作,他发现在1665年,John Wallis已经发现了:


\frac{\pi }{4}=\frac{2}{3} *\frac{4}{3} *\frac{4}{5} *\frac{6}{5} *\frac{6}{7} *\frac{8}{7} *etc



从这个式子,Euler发现(4)的值为\frac{\sqrt{\pi} }{2} .Philip Davis发现Eluer已经意识到了\pi 与面积和积分之间的联系。当他看到自己的式子与\pi 有联系的时候,他试着将这个无限乘积的式子改写称为一个积分式子。在经过大量的工作以后,他发现他的无限乘积式子等价与:


\int_{0}^{1}(lnx)^{n}dx  .这个式子在n取分数或是负数的时候依然成立。







在这篇文章的最后,Euler给出了一个“应用”的建议,虽然他承认这个例子不是那么的有用。他写到:“为了让这次讨论更为圆满,我想叙述一个可能比较稀奇但不是那么有用的东西。我们都知道d^{n}x 表示对x取n次的微分,如果假设p为任意以x为变量的函数,dx被视为一个常量,那么...d^{n}p dx^{n} 的比值可以用代数学的方法表示出来。如果n为分数,这个比值应该是多少”






Euler认为我们可以使用他的新函数求出被我们称为的“分数次导数”,并且他给出了一些例子。这里,我们会使用一些现代数学符号,和标记为\Gamma (x)被我们称为Gamma函数的函数。我们注意到,如果x为一个非负整数,则\Gamma (x+1)=x!.让我们先看看对于x^{n} 的k-th次导数的一些基本性质,从中找出一些规律:


一次求导:nx^{n-1}


两次求导:n(n-1)x^{n-2}


三次求导:n(n-1)(n-2)x^{n-3}


....


k次求导:n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^{n-k} =\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}


在这里我们要注意到k应该小于等于n,使得n-k能够大于等于0,并且(n-k)!能有意义。如果k不是一个整数,这些式子就没有意义了。






Gamma函数的意义就在于,当k为分数的时候,依然可以求得k次导数:


\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)} x^{n-k} 为x^n的k次导数。



或是像Euler一样写成:




在这里e只是一个指数的变量,与现代数学中的e常量没有联系。






基于这样的一个方法,Euler取n=1,k=1/2,求x的1/2次导数。得到





Euler并没有就此方向做更多的研究,但是他至少给了我们一个简便的方法去做相关的工作。如果我们想求一些更为复杂的函数的分数次导数的时候,我们可以先将函数用泰勒级数展开,然后对其中的每一项使用Euler的公式。如果你手中有Maple或是Mathmatica软件的话,你可以在上面做一些类似的实验。我们可以以f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)


做为例子,取x从0到6,k从0到5,画一个k不同时候的导函数的曲线。我们知道f有5个根,它的一次导函数有4个,二次导函数有3个。随着k增加,我们可以发现,在5次导之后,所有的根都消失。

三角函数,像f(x)=sin x也十分的有趣。


那些熟悉傅立叶级数和拉普拉斯变换的读者应该知道它们也能用于定义分数导数。



Saturday, December 19, 2009

无穷的世界


公式看不到的同学请看 http://docs.google.com/View?id=d7dc52n_374ddxxdpcm







无穷,这是一个比较抽象的概念,如果我们说无穷,可能第一印象是那些很大很大的数,所以我们先从比较直观的大数开始。


大数与无穷大

在汉语中,如果我们要具体表示数量大小的话,我们可以用十,百,千,万,或是它们的组合一百万,一千亿,一万万亿等等去表示。如果是英语的话,我们就用hundred,thousand,million等去表示。当一个中国人对你说出一万亿亿,或是一个美国人民用着正宗的伦敦音跟你说ten billion的时候,你是不是觉的这些数字已经有点震撼到你了?其实这还只是热身。大家都用过Google吧,如果你对IT界的八卦比较熟悉的话,那么你应该知道,Google这个名字来源与西方世界的一个单词Googol,这是西方世界中能够用独立名词说出来的最大数,它为10的100次方。但这还不是最大的,在除了“浩瀚无边”,“恒河之沙”之类的虚幻性的描述和当当用数字表示以外,具有独立名称最大数是佛教的asankhyeya,它等于10的140次方。这些数已经很大了,对于我们大多数人来说,我们一生都不见的会遇见或是用到这么大的数。可是在无穷前面,无穷大与Googol的距离和无穷与1的距离是一样的。因此无穷大不是一个数,而是一个概念。

在数学和物理学上,有着许多不同的常数,可是如果你稍微留心一下,你就会发现它们之间有个很有趣的差别:数学上的常数都很小,而物理学上的常数要不很大,要不很小。在数学上,\pi e算是两大明星,可是它们的值一个大约是3.14,一个大约是2.72,跟物理学上的常数比起来,真是有点那不出手。物理学上一出手就是10的10次方以上,你要是弄个8次方,你都不好意思见人。例如电子质量是1.6*10^{-27}Kg ,普朗克常数是6.62*10^{-34} JS


以上举了这些大数的例子,视乎与无穷没有太大的联系。如果你这样想的话,就对了。因为它们都是陪衬。就像我在第一段讲的,无穷是一个概念,它是无法用数去表达出来的。无论你写出了多大的数,它与无穷大的距离与1还是一样的。哪怕你把宇宙中的所有原子排成一排,第一个当1,后面都当0,这个数依然离无穷大很遥远。无穷大是一个无法企及的距离。在现代数学中,我们用\infty 表述无穷大,这是英国数学家在1655年首次使用这个符号。





级数与无穷

我们先来看一个非常著名的级数-“调和级数”


1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}......



如果问你一个问题,这个级数是发散的还是收敛的?如果你对数学不是很了解的话,乍一看,这就是一个收敛的级数。然而你错了,这是一个实实在在发散的级数。只不过它的发散速度实在是令人发指。调和级数的前1000项的和约为7.485,前100万项的和约为14.357,前10亿项的和约为21,前一万亿项和约为28,当它的和超过100时,如果每一项在纸带上只占1毫米,我们必须使用10^43毫米长的纸带,这大约是10^25光年,而宇宙估计尺寸只有10^12光年。当宇宙都已经被贯穿了,而调和级数才不过100.如果想让其趋向无穷,我觉的这件事情还是交给无穷去做吧,人类就不要插手了。







另外一个无穷级数的例子,跟一个著名的悖论有关系,那就是芝诺悖论:


“AB两点,一个人从A点走向B点,他必然要经过AB的中点,我们称为C点。同样他也要经过C和B的中点,我们称为D,依次反复,他要经过无穷个中点,因此,他永远也到不了B点”


这种说法乍一看,视乎是正确的。但是我们可以看看下面的一些计算,首先假设AB之间的距离为1米,这个人走的速度是每秒1米。根据这个人要经过无数个中点,我们可以得到下面这个式子:


S=(\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}....)=\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{2^{n} } }




S为他通过的距离。大家一看这个无穷级数,立马可以得出S的值为1.而人行走的速度为每秒1米,我们可以用同样的式子计算出行走的时间为1秒。







Euler一生中最喜欢研究的一个方面就是无穷级数了。在他的那本被称为数学界的七大奇书之一的《无穷分析引论》中,可以看到他用大段大段的篇幅介绍着各种各样的无穷级数:


\frac{1}{1^{2} } +\frac{1}{2^{2} }+\frac{1}{3^{2} } +\frac{1}{4^{2} }+\frac{1}{5^{2} }+....=\frac{\pi ^{2} }{6}




这些级数如果没有了无穷这个条件,是无法写出这样优美的式子,你可以这样说是无穷赋予了它们生命,没有了无穷的这个条件,这些式子就失去了意义。







康托尔眼中的无穷

康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家,集合论的创立者。是数学史上最富有想象力,最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统,从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造。


以上是一段康托尔的介绍,还是要告诫同学们,没有很强大的精神力量,为了身心健康,要谨慎的去思考宇宙从何而来,将往哪去?“苍穹深深深几许”之类的问题。

康托尔认为,不是只存在一个无穷大,而是有很多类型的无穷大;这些种类在本质上互不相同,但在很大程度上也像寻常数一样可进行互相比较。这种观点与当时流行的观点不同。换句话说,无穷大与无穷大是不一样的,还是有高低大小之分的。

我们先来看一个例子。大家先考虑一个问题,是自然数集合大还是偶数集合大?也许很多人会脱口而出,当然是自然数集合大。要是我告诉你,它们一样大,你是不是觉的有点不可思议,有种我在散布伪科学的想法?


2    4    6    8    10    12    14    16.....


1    2    3    4    5      6      7     8......


我们可以看到,自然数集中的任何一个数都能在偶数集中找到唯一相对应的数,相反,偶数集中的任何一个数也能在自然数集中找到唯一的一个相对应的数。也就是说自然数集与偶数集一一对应,它们两个集合的元素数目一样多!这与我们平常的生活经验相悖-“整体大于部分”,一个集合的子集等于集合本身!这是多么让人难以相信的事情。有这样想法的人是很正常的,因为我们的经验局限于有限世界中,它们并没有扩大到无穷大。而在无穷集合的世界里面,有限集合的规律都被打破了,有种到了新的山头,有新的规矩的样子。






康托尔的理论是很博大的,感兴趣的同学可以自己找相关的熟悉看看。这里只不过是沧海一粟。






几何与无穷

我们说数学是美的,并不仅仅说它有着非常巧妙的证明,优美的公式。数学也能在感官上给予我们美的震撼,就像绘画,雕塑一般,有种不朽的感觉。

首先,先介绍一个人:埃舍尔。


埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家",他专门从事于木版画和平版画。1898年他出生在荷兰的 Leeuwarden,全名叫 Maurits Cornelis Escher. 说到埃舍尔,首先让人联想到的就是“迷惑的图画”。明明是向二楼上去的楼梯不知为什么却返回到了一楼,鸟儿在不断的变化中不知什么时候却突然变成了鱼儿,这些图画就是埃舍尔所描绘的幻想的异次元空间,它具有不可思议的魔力,征服着人们的心灵。他那特别稀有的画风在很长时间以来被美术界视为异端,后来数学家们开始关注埃舍尔的画面的高难度构成,接下来他的画又在年轻人中间大受欢迎,并在世界范围内确立了其不可动摇的地位。












有的时候,一张图片比上千字的说明都来的有效。周而复始的瀑布,走不完的楼梯,把我们带入到一个无穷无尽,没有开始,没有尽头,周而复始的世界当中。






无穷的话题是一个贯穿几千年数学历史的一个重要话题,从阿基米德推算出球体体积,到Euler的无穷级数的研究,从牛顿-莱布尼茨创建微积分,到康托尔的集合论,无穷这个概念在逐渐的得到完善和发展。不仅仅在数学上得到了充分的发展,在多年来的发展中,也让许多人重新思考了许多有关神学与哲学的问题。这里只是尽我所能,列出一些喜闻乐见的内容,希望大家对这个比较抽象的概念有个其它方面的认识。

Friday, December 18, 2009

内地?还是中国?

台湾的三立电视台是个很绿油油的台。《国光帮帮忙》是其中的一个综艺节目。如果你有注意到的话,当节目中的来宾或是主持人提到“内地”或是“大陆”的时候,下面的字幕一律是“中国”。廖信忠在《我们台湾这些年》提到一件事,在民进党建党的前几年,国民党在其报纸上提到民进党的时候,总是以“民×党”或是“×进党”来代替。这与时下大陆里铺天盖地的敏感词有异曲同工之妙,只不过大陆地大人多,敏感词也多。果然都是龙的传人,做事想法都这么的有默契。龌龊的事情都可以这么有艺术性。

欧拉是如何做到的?(五)-奇完全数


原始文章链接 http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2037%20Odd%20perfect%20numbers[1].pdf


我们今天讨论的主题,是在十八世纪并不热门的一个数学领域-数论。Euler发表了超过100篇有关数论的文章,但是他的第一本有关数论的书籍却是在法国大革命的第六年出版的,而直到1798年才被世人所知。三年以后,Gauss出版了他的著名的《算学研究》。
对于数学历史上许多的问题,如果你不满意一个问题的答案,你可以用另外一种方式去理解它,从而得出不同的答案。欧几里德的著作中有几卷是涉及到我们今天所称的数论。例如一些非常重要的定理:求最大公约数的欧几里德算法,素数无穷性的证明,如果一个形如2^{n}-1 的数为素数,那么2^{n-1}(2^{n}-1 ) 则被称为完全数。

1656年Frans van schooten出版了一本鲜为人知的重要著作-Exercitationum mathematicarum libriquinque-这是一本有关于数论的书籍,在这本书中,Frans van schooten叙述了如何寻找亲和数。这本书并没有产生Frans van schooten所期望的影响力。人们阅读他编著的Viete著作集和笛卡尔的拉丁文版的《几何》,而当人们阅读他的这本书籍的时候,往往只是阅读附录-Christian Huygens所著的一篇概率论历史上经典的文章。这是另外一个话题了。

Euler编写了第一本的教科书,但是并没有出版,大家对此都已经见怪不怪了。有一部小有名气的手稿-“Tractatus de numerorum doctrina capita sedecim quae supersunt”-这本书有16章节。很明显,这只是Euler计划编写的一本有关数论的教科书的一部分的原始手稿。他一定不希望这个手稿就这样被出版,这份手稿只在1849年出版过一次,那时Euler已经去世66年了。我们无法确定Euler究竟是什么时候编写这本书的,但是可以推测,他应该是在1756年以后编写的,因为这本书包含的一些内容是在1756年左右发表的。大多数研究Euler的学者认为,他应该是在1783年前左右写的,也就是在他去世不久前写的,但是我们难以拿出更多的证据支持这个论点。Andre Weil对于Euler是何时编写这本书,有着自己的看法。

我们首先列出这本书的十六章节的标题:


第一章:合数
第二章:数的因数
第三章:数因数的个数与和
第四章:互质数与合数
第五章:余数
第六章:等差数列各项的余数
第七章:等比数列各项的余数
第八章:数幂被素数除后的余数
第九章:形如a^{n}\pm b^{n}  的数的因数
第十章:平方数被素数除后的余数
第十一章:三次幂被素数除后的余数
第十二章:四次幂被素数除后的余数
第十三章:五次幂被素数除后的余数
第十四章:平方数被合数除后的余数
第十五章:形如xx+yy的数的因数
第十六章:形如xx+2yy的数的因数

从这些章节的标题可以看出,Euler写这本书的主要兴趣是研究这些可以写成xx+nyy的素因数。很有可能他计划了更多的形如“形如xx+nyy的数的因数”的章节。Euler从十八世纪四十年代至五十年代开始写相关主题的文章。我们已经在2005年12月和2006年1月的两次专栏上叙述了其中的两篇。

相比之下,很明显高斯在撰写他的《算学研究》的时候有着不同的计划。从他的书的目录可以看出来,他将重点放在了第四章节的二次互反定理和第十七章节的正十七边形的画法。(Gauss在前言说到,他并没有在本书中完成他所有的计划,正如他在第八章节内容中提到的东西并没有包含在本书中。)我没有机会读勒让德(Legendre)的书,所有我只能猜测他在书中写了什么。

让我们回到Euler的书上来。Euler的书先从一些基本的概率开始,给出了一些数字,数列,素数和一些其他基本对象的定义。他特别指出na,是a的n倍大小的数,也是n的a倍大小,并且na=an。在书中的第32段(总共586段),他告诉我们素数是“那些不能被其他其他数相除的数”,并且在他列出来的一些素数的列表中,包含了1.但是在手稿中的其他部分,Euler似乎并没有把1当成素数看待。如果Euler能够有机会对他的手稿进行第二次修改的话,对于这种细节问题,他一定会进行修改。

Euler不久就提出了一种根据整数的素因子(可以相同)来对整数进行分类的方法。素数是第一类,完全平方数和两个素数相乘的数是第二类,比如4,6,9,10和14。12=2×2×3,因此12是三类。他给出了高达100类的数,并指出在小于100的数中,只有64和96是第六类的数。


我们今天已不再用这种方法了,但是Euler,就如同以往一样,一定有着他自己的理由与想法。他根据整数的素因数分解中不同素数出现的频率,将不同类的整除分为不同的类型。例如一个第二类的整数,如果有着形如pp的形式,则被分为第一类,例如4或9.如果有着pq的形式,这被分为第二类,比如6或15.类似的,第三类整数可被分为三种类型,p^{3} ,p^{2}q,pqr .Euler一定意识到-但是他从未提到过-一个类型的数的种类的个数与这个类型的类型号(这里的类型的意思就是,比如第三类,那么类型号就是三)的整数分划有关。

在现代数学中我们从没有见过这样的分类方法,尽管当Van Schooten和Euler在寻找亲和数的时候使用过类似的方法。这里我们用一种更为简单的方法诠释Euler所说的整数的因数的个数-一个整数形如n=p^{\lambda} q^{\mu }r^{\nu }s^{\xi },那么它的因数的个数为(\lambda +1)(\mu +1)(\nu +1)(\xi +1).这个函数被称为因数函数,有的时候被写成d(n)或是\sigma_{0}  (n).

Euler接着将目光转向了整数n的因数之和,他用积分符号\int_{}^{}n 来表示整数因数的和,但是在现代数学中我们使用\tau (n)或是\sigma _{1}(n) ,这个函数被称为“Euler\tau 函数”。有了这些先前的准备工作,Euler很容易就能展现素数的威力了,\int_{}^{} p^{n}=\frac{p^{n+1}-1 }{p-1}  ,如果我们知道一个整数的的素数分解,如n=p^{\lambda} q^{\mu }r^{\nu }s^{\xi },那么\int_{}^{} n=\int_{}^{} p^{\lambda } \int_{}^{} q^{\mu } \int_{}^{} r^{\nu } \int_{}^{} s^{\xi } .

Euler证明了一系列与此函数有关的引理,比如,如果\int_{}^{}n>n ,并且如果n=1,则\int_{}^{}1=1 .Euler只是对他在这里使用“>”符号有点困惑。我们从来没有见过Euler使用过\geq 符号,而在这个引理中他似乎应该使用这个符号。Euler用\int_{}^{} n计算了60以下的所有整数。
他证明的另外一个引理是:如果\frac{\int_{}^{} N}{N}=\frac{m}{n}  ,\frac{m}{n} 为最简分式,N不为1,那么有m>n,并且有N=n。

在第106段(第三章节),Euler定义了完全数:如果\int_{}^{}N=2N ,那么N为完全数。这与欧几里德定义的完全数有一点差别。欧几里德定义的完全数是整数的因数之和与其本身相等(不是Euler定义的两倍),但是欧几里德的因数中并不包括整数自己本身。
Euler并没有在他书中的前部分的段落中的例子里指出这些差别。他给出了两个例子,\int_{}^{} 6=12\int_{}^{} 28=56,所以6和28都是完全数。也许Euler本打算在下个版本的手稿中加入,或者他想将这些差异留待读者自己发现。Euler开始寻找完全数了。

首先,他假设N是个偶数,那么N=2^{n}A ,N可以分解为一个2的幂与一个奇数A相乘。那么得到


2^{n+1}A=2N=\int_{}^{}N= \int_{}^{}2^{n}A=(2^{n+1}-1)\int_{}^{}A



可推出


\frac{\int_{}^{}A }{A}=\frac{x^{n+1} }{x^{n+1}-1}


式子的右边是一个分式,分子只比分母大1,所以这是一个最简分式。根据他的引理,A=2^{n+1}-1 ,因此\int_{}^{}A=2^{n+1}=A+1  ,并且A为素数。由此我们可以得到一个结论,所有的偶完全数有2^{n}A 的形式,并且A=2^{n+1}-1 ,A为素数。这是欧几里德的著作的第六卷中的第36个定理的逆定理,并且是首次对这个逆定理的证明。

现在我们来关注本专栏的主题,Euler对于奇完全数的研究。假设N为一个奇完全数,它的因数分解为N=ABCD。Euler默认A,B,C,D为不同素数的幂,尽管他并没有明确地这样说过。既然N为奇数,那么它的所有因数也必然都为奇数,并且由于它的素因数是不相同的,我们可以得到


2N=\int_{}^{}N= \int_{}^{}ABCD=\int_{}^{}A\int_{}^{}B\int_{}^{}C\int_{}^{}D



数字2N是一个奇数的两倍,这个数被Euler和欧几里德称为“oddly even”(意思为能被2整除,不能被4整除的数)。由此可知,\int_{}^{} A,\int_{}^{} B,\int_{}^{} C,\int_{}^{} D中一定有一个为“oddly even”,其它的为奇数。

假定A,B,C,D中的B使得\int_{}^{} B为奇数,B=p^{n} ,有Euler之前的研究可得,\int_{}^{} p^{n}=\frac{p^{n+1} -1}{p-1}=p^{n} +p^{n-1}+...+p^{2}+p^{}+1   ,因为p为奇数,所以这是n+1个奇数之和。要使得因数之和为奇数,则n+1必须为奇数,这使得n为偶数。这也就意味着B是素数的偶次幂,B必定为一个完全平方数。

由以上可以推出,N的各个(N=ABCD)分解部分,除了其中一个其它的都一定是完全平方数。假设为A,则有\int_{}^{}A 为“oddly even”。
Euler告诉我们,如果我们将A写成A=q^{m}  的形式,那么要使得\int_{}^{}A 为“oddly even”,p必须为形如素数的4n+1次幂,那么m则为奇数且形如4\lambda +1。他并没有告诉我们是如何推导出以上结论的,也许他计划在以后填补上这些细节。或许我们能完成这些推导的工作。

奇数有两种形式4n+1或是4n+3。首先,我们将会证明q不可能为4n+3的形式。假设q=4n+3,那么q的幂模4(mod 4)为1或3(Guass从没有使用 ‘mod’这个符号,这个符号的最早使用者是Gauss。)。由此可知,\int_{}^{}A=\int_{}^{}  q^{m}=1+q+q^{2}+...+q^{m-1}+ q^{m}模4为1或为0.由此可知\int_{}^{}A 并不是一个“oddly even”。

假设q=4n+1,那么q的幂模4都为1.那么\int_{}^{}A=\int_{}^{}  q^{m}=1+q+q^{2}+...+q^{m-1}+ q^{m}模4等于(m+1)mod4.当m模4为1的时候,\int_{}^{}A 为“oddly even”,这正如Euler所说的m形如4\lambda +1

最后Euler给出了他的结论:一个奇完全数有着{(4n+1)}^{4\lambda +1} PP的形式,其中P为奇数,4n+1为素数。